امیدریاضی مثبت وسوسه‌انگیز و رودخانه‌های با عمق میانگین یک و نیم متر

ترم سوم مهندسی کامپیوتر بود که درس آمار و احتمال را گرفته بودم و حالا دیگر می‌فهمیدم که امیدریاضی به صورت دقیق چه معنی می‌دهد. البته قبل از آن هم با مفهوم امید ریاضی اندکی کار کرده بودم. اگر نمی‌دانید امید ریاضی چیست، باید بگم که مفهوم بسیار ساده‌ای است که الآن در دو خط برایتان توضیح می‌دهم.

فرض کنید که من سکه، یک سکه‌ی سالم که به احتمال نیم شیر و به احتمال نیم هم خط می‌آید، می‌اندازم و اگر شیر آمد شما ده هزار تومن می‌برید و اگر خط آمد من از شما دو هزار تومان می‌گیرم. پس همان‌طور که مشخص است اگر یک‌بار این بازی را انجام بدهیم،‌ به احتمال نیم شما ده‌هزار تومن می‌برید و به احتمال نیم هم دو هزار تومان می‌بازید. امیدریاضی در واقع نتیجه‌ی میانگین بازی است اگر این بازی را بی‌نهایت بار، فرض کنید خیلی خیلی زیاد انجام بدهیم، اگر چه حرف دقیقی نیست،‌ تکرار کنیم. خوب، اگر تعداد بی‌نهایت بار با هم بازی کنیم، نصف مواقع شما ده‌هزار تومن می‌برید و نصف مواقع هم دو هزار تومان می‌بازید و در نهایت شما به صورت میانگین به ازای هر بازی ۴ هزار تومن می‌برید. بنابراین امید ریاضی سود شما از این بازی چهار هزار تومان هست(دقت دارید که توضیح من از دو خط بیش‌تر شد اما خب اشکالی ندارد!).

پس امید ریاضی یک چیز،‌میشود مقدار میانگین آن چیز وقتی ما بازی مدنظرمان یا فرایند مدنظرمان را خیلی خیلی زیاد بار تکرار کنیم. اما حالا چرا دارم این‌ها را می‌نویسم؟ چون که مساله‌ای ذهنم را درگیر کرده بود که در ادامه آن را برای شما طرح می‌کنم:

فرض کنید که به آدم‌ها می‌گوییم که بیایید بازی کنیم. به شما اول ده هزار تومان می‌دهم. حالا یا همین‌جا بازی را تمام می‌کنیم یا سکه می‌اندازم و اگر شیر آمد ده هزار تومان دیگر به شما می‌دهم و اگر خط آمد از شما هشت هزار تومان می‌گیرم. قاعدتا مایل به انجام بخش اول بازی و دریافت ده‌هزار تومان هستید. اما آیا بازی را همین‌‌جا تمام می‌کنید یا دوست دارید که بخش دوم که انداختن سکه است را هم انجام بدهیم؟

چیزی که من را بسیار گیج می‌کرد این است که با وجود این‌که امیدریاضی این بازی با سکه انداختن مثبت است اما من رغبتی به انجام مرحله‌ی دوم که همان سکه انداختن باشد در این بازی نداشتم و ترجیح می‌دادم ده‌هزار تومانم را بگیرم و بروم. امیدریاضی سود این بازی با انجام بخش سکه، یا همان میانگین سود اگر خیلی خیلی بار این بازی را با سکه‌ انداختنش تکرار کنیم برابر با یازده هزار تومان است که از خود بازی بدون انجام بخش سکه که می‌شود ده‌هزار تومان بیش‌تر است. اما چرا من چندان به انجام آن راغب نبودم(و احتمالا شما هم چندان راغب نیستید)؟ این چیزی بود که بسیار من را گیج می‌کرد و همان احساسی است که می‌خواهم در این پست به آن بپردازم.

بیایید با هم دیگر این احساس را حلاجی کنیم. یکی از راه‌های خوب حلاجی کردن تغییر دادن و اغراق کردن مساله است. من به خاطر این که امیدریاضی این بازی مثبت بود احساس می‌کردم که درگیرشدن در این بازی باید عقلانی باشد. اما چرا احساس خوبی از این بازی نداشتم. فرض کنید که بازی به صورت دیگری بود. به این صورت که بدون هیچ سکه‌‌انداختنی من در مرحله‌ی دوم به شما هزار تومان می‌دادم. در این صورت همه راغب هستیم که در این بازی شرکت کنیم. درست است؟ امیدریاضی سود ما از این بازی هم یازده هزار تومان است اما چه چیزی با بازی قبلی فرق کرده است؟

برای درک بهتر قضیه می‌توانیم کمی اعداد را بزرگتر کنیم تا بهتر دلایل پشت‌پرده‌ی محاسبات ذهنی خودمان را درک کنیم. فرض کنید به جای ده هزار تومان یک میلیارد تومان قرار بدهیم. یعنی فرض کنید ابتدا به شما یک میلیارد تومان می‌دهم. حالا یا بازی را همین‌جا تمام می‌کنیم یا سکه می‌اندازم و اگر شیر آمد یک میلیارد تومان دیگر به شما می‌دهم و اگر خط آمد از شما هشتصد میلیون تومان می‌گیرم. حالا در بخش دوم این بازی شرکت می‌کنید؟ در واقع این‌جا احتمالا شما هم مثل من ترجیح می‌دهید که یک میلیارد تومان را بگیرید اما وارد بخش دوم بازی که سکه انداختن است نشوید.

من فکر می‌کنم چیزی که اینجا تعیین‌کننده شده این است که ما اگر وارد بخش دوم بازی بشویم به احتمال نیم دو میلیارد تومان و به احتمال نیم دویست میلیون تومان داریم. پس به احتمال نیم بسیار بسیار خوشحالیم و به احتمال نیم در بهترین حالت کمی خوشحالیم و احتمالا به خاطر اینکه هشتصد میلیون را از دست داده‌ایم ناراحتیم. اما اگر وارد این بازی نشویم یک میلیارد را داریم و بسیار خوش‌حالیم فقط کمی ناراحتیم که شاید می‌شد دو میلیارد باشد. برای همین ترجیح می‌دهیم راهی را برویم که به صورت قطعی بسیار خوشحالیم تا راهی که به احتمالی بسیار بسیار خوشحال و به احتمالی در بهترین حالت اندکی خوش حالیم! در واقع راه دوم عدم‌اطمینان بیشتری دارد و نتایجش خیلی خیلی فرق دارند اگرچه امیدریاضیش مثبت است.

پس در واقع قضیه این است که امیدریاضی اگرچه سعی می‌کند وضعیت را برای ما ساده کند و سعی کند شهودی از وضعیت سود ما در بازی به ما بدهد اما ساده‌سازی کارآمدی در این وضعیت نیست زیرا ما انسان‌ها به فاصله‌ی حالت‌های ممکن هم دقت می‌کنیم و گاهی ترجیح می‌دهیم که راهی مطمین‌تر را با احتمال کمتری برای رخ‌دادن رویدادهای ناگوار امتحان کنیم ولو راه دیگر امیدریاضی‌اش بیشتر باشد و البته این از نظر من بسیار بسیار هم عقلانی است! دقت کنید که امیدریاضی در مورد میانگین سود وقتی خیلی خیلی بار یک بازی را تکرار کنیم حرف می‌زند و نه در مورد انجام یک‌بازی تنها برای یک بار(ممکن است بازی با امیدریاضی شش هزارتومان سود را با بازی‌ای که به صورت قطعی به شما شش هزار تومان سود می‌دهد اشتباه بگیریم).

به همین علت هم هست که اگر رودی یک و نیم متر عمق داشته باشد ااما از آن رد نمی‌شویم(مثال از کتاب قوی سیاه گرفته شد)،‌ زیرا اگر کل رود یک و نیم متر عمق داشته باشد می‌توانیم از آن رد شویم اما اگر نیمی از آن نیم متر و نیمی از آن دو و نیم متر عمق داشته باشد غرق می‌شویم، البته فرض کرده‌ام که شنا بلد نیستیم یا در آن رود نمی‌توان به راحتی شنا کرد. در واقع میانگین عمق یک رودخانه اطلاعات کافی برای تصمیم‌گیری ما در رد شدن یا نشدن از آن به ما نمی‌دهد و به همین ترتیب امیدریاضی یک بازی اطلاعات کافی برای تصمیم‌گیری ما در درگیر شدن یا نشدن در آن بازی را به ما نمی‌دهد. این‌ که احساس کنیم اگر امیدریاضی یک بازی مثبت است پس حتما شرکت در آن عقلانی است، به خاطر این است که ذهن ما درگیر یک ساده‌سازی ریاضی شده است که برای کمک به ما در شرایط ابهام برای گرفتن شهودی نسبت به محیط ابداع شده بود اما حالا دامن‌گیر شده و ما را به شهودهای غلط می‌رساند! این هم برمی‌گردد به این‌که همیشه باید مواظب باشیم که مدل‌هایی که برای ساده‌کردن دنیا می‌سازیم، ااما دقیق نیستند و خیلی مواقع باید مدل‌هایمان را عوض کنیم و نه اینکه بر مدل‌های غلط خودمان پافشاری کنیم! البته دوست دارم در این مورد چیزهایی را که جدیدا خوانده‌ام برایتان بنویسم که خواهم نوشت. فعلا برایم بنویسید که نظرتان در مورد این موضوع چیست.

چند مورد پراکنده:

۱- اگر قرار باشد خیلی خیلی بار بازی کنیم و سپس میانگین سود را دریافت کنیم،‌ بهتر است خیلی خیلی بار با سکه انداختن بازی کنیم! البته باید حواسمان باشد و این خیلی خیلی بار را به صورت دقیقی تعیین کنیم.

۲- در واقع می‌توانیم کمی مدلمان را دقیق‌تر کنیم و بگوییم واریانس(معیاری از پراکندگی و دوری نتایج احتمالی از هم‌دیگر) سود بازی با سکه انداختن خیلی زیاد می‌شود اگرچه امیدریاضی‌اش هم کم می‌شود. البته باز هم دقت کنیم که با وارد کردن واریانس همه‌چیز حل نمی‌شود و باز هم آن هم ساده‌سازی‌است که ما شرایط را بهتر درک کنیم.